Il fiocco di neve di Koch.

Il fiocco di neve di Koch è una particolare curva frattale costruita dal matematico Koch a partire dal merletto di Koch. Si tratta di una curva costruita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch.

Nella tabella successiva i primi passi della costruzione della curva. Per ottenere il frattale basta incollare tre copie della curva lungo i lati del triangolo. Si osservi che la seconda figura è una stella di David (stella a sei punte).

Passo 0 fig. 1	Passo 1 fig. 2
Passo 2 fig. 3	Passo 3 fig. 4

La curva ha la stessa dimensione frattale del Merletto di Koch ovvero è pari a:

E' importante notare che il fiocco di neve di Koch non può essere ottenuto applicando un certo numero di trasformazioni geometriche. Basta infatti osservare che il frattale non è autosimile, ovvero non è divisibile in un numero di parti simili all'intera figura. Per ottenere la curva non si può quindi ricorrere alla tecnica degli IFS ma bisogna utilizzare un'altra tecnica, quella degli L-system.

Per ottenere il Fiocco di Neve di Koch come frattale LS si utilizzano le seguenti leggi:

Seme iniziale

F - - F - - F

Fattore di omotetia

3

Angolo

60°

Legge di sostituzione

F -> F + F - - F + F

Il risultato finale è una curva chiusa costruita su un triangolo equilatero. Si può notare che il fratttale contiene una stella a sei punte. La costruzione risulta del tutto analoga al pentagono frattale.

Esiste un altro modo per costruire il Fiocco di Neve. La costruzione vista sopra può essere definita come una costruzione per addizione, in quanto alla figura di partenza, il triangolo, si aggiungono altri elementi. Esiste una costruzione per sottrazione che invece alla figura di partenza (un esagono regolare) toglie degli elementi.

L'unica differenza è che il frattale finale è ruotato di 60°.

Vediamo questa seconda costruzione. Stavolta il merletto di Koch viene costruito sui lati dell'esagono.

Passo 0 fig. 1	Passo 1 fig. 2
Passo 2 fig. 3	Passo 3 fig. 4

Per ottenere il Fiocco di Neve di Koch come frattale LS secondo la costruzione vista sopra, si utilizzano le seguenti leggi. Rispetto al caso precedente, cambia unicamente il seme iniziale.

Seme iniziale

F + F + F + F + F + F

Fattore di omotetia

3

Angolo

60°

Legge di sostituzione

F -> F + F - - F + F

Entrambe le costruzioni sono esposte nel testo di Mandelbrot, The fractal geometry of nature, dove però mancano i particolari tecnici della costruzione.