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Un'introduzione ai frattali.

Gli oggetti della natura (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci etc. ) sono tutti caratterizzati da un carattere irregolare e non possono essere studiati usando le proprietà della geometria euclidea (rette, poligoni, cerchi). Questo ha giustificato l'introduzione di un nuovo tipo di geometria da parte del matematico Benoit B. Mandelbrot (1982): la geometria frattale .

Nella figura sopra l'esempio più familiare di frattale: un albero (in questo caso una quercia da molti anni non sottoposta a potatura, fotografata in inverno).

Frattali e natura.

(fig. 1)

Durante una passeggiata in campagna o in un bosco si è immersi nella natura fra montagne, alberi, erbe, fiori di tutti i tipi e di tutte le dimensioni. A parte l'indiscutibile bellezza dell'ambiente, un occhio più esperto può cogliere nella forma di tutti questi oggetti delle curiose proprietà geometriche.

Le forme che si incontrano però non possono essere studiate applicando gli assiomi della geometria euclidea che si insegnano usualmente nelle scuole. Infatti non si tratta (tranne pochissime eccezioni) di enti geometrici nel senso euclideo del termine, ovvero di poligoni o poliedri più o meno regolari.

Tutto cio' che si incontra in natura è molto più complesso, frammentato, frastagliato.

Consideriamo ad esempio una comune felce (fig. 1). La cosa che si nota immediatamente è che una parte della felce è simile a tutta la felce stessa, ovvero è una copia in piccolo della foglia completa.

(fig. 2)

Ed allo stesso modo si può procedere innumerevoli volte fino a ridursi a parti sempre più piccole. Nella figura accanto sono evidenziati i primi tre passi di questo confronto (fig. 2). La parte evidenziata in rosso è la copia in piccolo dell'intera foglia. La parte evidenziata in blu a sua volta è la copia ridotta della parte in rosso. Infine la parte celeste è la copia ridotta della parte blu.

(fig. 3)

Questa proprietà prende il nome di autosimilarità (o autosomiglianza) : una parte dell'oggetto è simile al tutto.

In geometria gli oggetti che sono autosimili vengono definiti frattali e possono essere costruiti seguendo precise regole di tipo matematico.

La felce è un frattale. Si tratta quindi di un oggetto geometrico e come tale si può ottenere usando delle tecniche matematiche. Nella figura 3 osserviamo una felce costruita in questo modo. Notiamo che nella versione proposta manca lo stelo. E' possibile osservare anche una versione ingrandita della figura.

Nota importante sulla definizione di frattale

Tieni presente che la definizione di frattale non è unica. Esiste una grande varietÓ di oggetti che vengono definiti frattali ed ognuno ha caratteristiche proprie. Lo stesso Mandelbrot non fornisce una definizione di frattale, se non in modo molto approssimativo ed intuitivo. La definizione che hai trovato sopra Ŕ quindi necessariamente solo una delle possibili. In ogni caso i frattali che troverai in questo sito soddisferanno tutti questa caratteristica.

Una definizione di frattale.

Diamo ora una definizione più rigorosa di frattale, ma pur sempre in termini elementari.

Consideriamo un insieme di N trasformazioni (non necessariamente affini) del piano cartesiano: { T 1 , T 2 , T 3 , ..., T N } ed applichiamole allo stesso sottoinsieme A del piano. Come risultato otterremo una famiglia di N sottoinsiemi del piano cartesiano { T 1 ( A ), T 2 ( A ), T 3 ( A ), ..., T N ( A )}.
Sia A 1 l'insieme ottenuto come unione di questi sottoinsiemi. Applichiamo di nuovo le N trasformazioni all'insieme A 1 così ottenuto e consideriamo l'unione degli N insiemi immagine. Chiamiamo questo insieme A 2 . Agiamo nello stesso modo su A 2 e otteniamo A 3 .

Continuando allo stesso modo, otteniamo una successione di insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...}.

Il problema che ci poniamo è il seguente: continuando in questo modo, la successione di insiemi convergerà ad un insieme A oppure no? Convergere in questo caso vuol dire che la successione si stabilizzerà, e da un certo punto in poi non noteremo più cambiamenti apprezzabili nell'immagine sullo schermo. (Si tratta di un'operazione di limite.)

Sotto certe condizioni la successione di insiemi convergerà ad un insieme limite F . Questo insieme limite F si definisce frattale , anzi frattale IFS (Iterated Function System) ovvero "frattale ottenuto iterando un insieme di trasformazioni del piano".

Se la definizione di frattale ti sembra difficile, leggi l'esempio seguente.

Un esempio: la costruzione della felce.

La costruzione di un frattale come la felce è strettamente legata alle trasformazioni affini. Possiamo infatti affermare che basta applicare più volte un certo numero di trasformazioni affini per ottenere una figura come quella precedente (fig. 3).

Passo 0 - A
(fig. 4)
Passo 1 - A 1
(fig. 5)

Cerchiamo di capire in termini elementari come si procede.

Si parte da una forma iniziale qualsiasi, ad esempio il rettangolo di punti in alto a sinistra della figura 4. Questo e' l'insieme iniziale A .

Questo insieme viene trasformato: si ruota e si rimpicciolisce tre volte applicando tre distinte trasformazioni geometriche (fig. 5). Notiamo che il quadrato iniziale viene cancellato e restano solo i tre quadrilateri ottenuti dalle tre affinità. Questo è l'insieme A 1 .

Passo 2 - A 2
(fig. 6)
Passo 3 - A 3
(fig. 7)

All' insieme ottenuto, applichiamo di nuovo le tre trasformazioni ed ricaviamo la figura seguente (fig. 6). Questo è l'insieme A 2 . Notiamo che anche stavolta l'insieme precedente non viene più visualizzato.

Si procede di nuovo in questo modo, cancellando il passo precedente e si ottiene l'insieme A 3 .

Passo 4 - A 4
(fig. 8)
Passo 5 - A 5
(fig. 9)

Nota che la successione di insiemi { A 1 , A 2 , A 3 , ...} converge ad un insieme A che è proprio la felce della figura 3.

Le tre affinità usate per costruire la felce sono tre similitudini , ovvero tre trasformazioni ottenute ciascuna come composizione di una rotazione, di una omotetia e di una traslazione. Se volessimo inserire anche lo stelo della felce dovremmo aggiungere alle tre affinità precedenti una quarta trasformazione che però non sarebbe un'affinità. A questo proposito confronta la costruzione della felce con lo stelo di Barnsley .

a cura di: Laura Lotti - e-mail: webmaster@frattali.it - Ultima revisione: 18 aprile 2003